水暖之家讯：0引言
在微机继电保护中，有两种形式的滤波器可供选择：一种是模拟滤波器,另一种是数字滤波器。同模拟滤波器相比，由于数字滤波器具有“高精确性、高灵活性和高稳定性以及便于时分复用”［1］等优点，因此目前所研制的电力监控产品中，绝大多数都用到数字滤波算法。其中傅里叶算法因能够有效地去除直流分量和谐波干扰，并且可以有选择地单独计算谐波分量，所以被广泛地应用于谐波分析中。
FFT由于具有原位性，计算量较小并且易于流水线操作等特点，所以非常适合用数字信号处理器（DSPs）进行处理。我们可以通过一定的转换和计算，用FFT来实现傅里叶算法，可以大大减小运算量，而且使其更易于通过DSPs实现。

1傅里叶算法的应用
傅里叶算法的基本思想源于傅里叶级数。该算法假设输入信号为一周期性信号，即输入信号中除基频分量外，只包含恒定的直流分量和各种整次谐波分量。此时电压（电流）输入信号可表示为：
　
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式中：T1为周期信号的周期，c0为直流分量，ck为k次谐波的幅值，为k次谐波的有效值。
对于周期连续信号x(t)，式（2）和式（3）的积分可用梯形法则［1］求得：


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其中:N为一周期内采样的点数；x(n)为第n次采样值，n=0,1,2,…,N-1。
当输入为电压（电流）信号时，由式（4）、（5）、（6）、（7）得出的ck和φk分别对应着电压（电流）的k次谐波的幅值Uk(Ik)，和k次谐波的相位φuk（φik），由此可计算出电压（电流）的k次谐波的有效值。
在此基础上还可以计算出k次谐波的有功功率Pk，无功功率Qk，视在功率Sk［2］。
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同理也可以算出电压（电流）谐波总畸变率THDu（THDi）
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2基于FFT的傅里叶算法的实现
在傅里叶算法中，每计算1次ak或bk就要计算1次式（6）或（7），很不方便；而且当需要计算的谐波次数很高时，就会造成很大的计算量。为了克服这些缺点，可以利用傅里叶级数和离散傅里叶变换的关系，通过FFT代替梯形法则（式（6）、（7））来计算ak和bk。
离散傅里叶变换（DFT）和快速傅里叶变换（FFT）实质上是同种变换，FFT只不过是利用DFT系数e-j（2π/N）nk的对称性、周期性和可约性等性质将长序列的DFT分解为若干个短序列的DFT计算，然后再按一定规则将其合并，从而得到整个的DFT。因此对FFT的研究，实际上就是对DFT的研究。
根据离散傅里叶变换有
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将x(t)表示成傅里叶级数的指数形式:
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根据傅里叶级数性质不难得到：
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要将连续的周期信号的傅里叶级数和DFT联系起来，就需要在时域内对x(t)进行抽样，抽样间隔为T。一周期内的抽样点数为N，则根据信号的时域和频域的对称关系，当信号在时域中被抽样后，其频域内的频谱以抽样频率做周期
　
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式(17)表明了连续的周期信号被抽样后其离散傅里叶变换序列和傅里叶级数系数序列的关系。
比较式（12）和（17），可得:
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可以看出ak和bk分别与X（k）的实部和虚部相对应（不是相等）。
将式（17）带入式（13）、（14）得:
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得到了ck和φk，就可以按照1中所介绍的公式进行功率计算和谐波分析了。

3采样点数N的选择
在现场测量中，要得到精确的计算结果，采样频率的选择很重要。如果采样频率过高，虽提高了计算精度，但增加了计算量，会影响到实时性；如果采样频率过低，会造成其频域的混叠，而无法如实地反映出原来的信号。
对于一般的连续信号，根据时域抽样定理，应有:
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其中：fs为采样频率，fm为奈奎斯特频率,但是对于正弦信号，由于其频谱是谱线（在±f0处的δ函数），既不能简单地视为带限信号，也不能简单地视为窄带信号。当其初相φ不确定时，若选取fs=2fm，有可能导致波形的严重失真。
对于正弦信号
　
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若选择抽样频率fs=2f1则会出现以下三种情况［3］：
①当φ=π/2时，可以由x(n)重建x(t)；
②当φ=0时，无法由x(n)重建x(t)；
③当0<φ<π/2时，由x(n)重建出的不是x(t)，而是幅值为x(t)=Asin(φ)、初相为零的同频余弦信号。若φ确定，可以得到原信号x(t)；若φ不确定，则无法得到原信号x(t)。
④只有当fs≥3fm时，才可以保证任何初相位情况下，由x(n)重建x(t)。
结论②显而易见：若φ=0，则一个周期内抽得的两点全是零，自然无法重建x(t)；结论③可以通过图1说明。

由图1可以看到，由抽样的信号b重建的信号c即x(t)=sinφcos(2πf1)不是原信号a，而是幅值变为sinφ,初相为零的余弦信号。对于结论④的证明，详见参考文献［3］。
对于基2的FFT算法，采样频率（一周期的采样点）可按如下方法确定：
1）首先确定所要分析的谐波次数k（例如13）；
2）每个周波至少采3k（39）点；
3）为了采用基2的FFT，采样点数应扩大到邻近的2l个（39扩大到64点）；
4）然后用上述的算法进行分析计算。
这里需`注意的一点是，若得出的采样点3k与邻近的2l相差很多（如69扩大到128点），此时仍然按方法（3）的话，会造成存储空间的很大浪费。在这种情况下，若能保证实时性的条件下，不使用基2的FFT算法，而将3k扩大到邻近的一个可以分解为几个素数相乘的数（如72=2×2×2×3×3），从而采用另一种FFT算法-混合基算法［4］。此时采用72点混合基FFT算法比128点的基2的FFT算法的计算量要稍高一些（比梯形法则的要低），但是却能大大地节省存储空间，有利于提高产品的性能价格比。

4两种方法的计算量比较
由于计算机处理中，乘法运算所需时间比加法多的多，所以现以乘法为例，进行计算量的比较。
从上面的推导可以看出只要计算出ak和bk，就可以由此推导出其它的结果。而FFT算法和傅里叶算法的不同之处在于推导ak和bk的方法不同：FFT算法利用离散傅里叶变换先求出X(k)，而ak和bk正好对应着（不是等于）X(k)的实部和虚部，其计算量为次复乘［4］，考虑到x(t)为实数序列，故1次复乘需2次实数乘法，这样用FFT算法计算ak和bk需要Nlog2N次实数乘法；而傅里叶算法是利用梯形法则即式（6）和（7）得到的，每计算1次ak或bk，各需要N次实数乘法，k次谐波系数的计算量为2Nk。那么傅里叶算法和FFT算法计算量之比为
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若以时域64点采样，取13次谐波为例，其比值大于4，这样，采用FFT后，计算量减少了约75。而且当需要更高次谐波时，这个比值还可以增加（根据3中的选点方法，64点的FFT可以支持21次谐波），同时不必修改程序，在满足3中的采样条件的前提下，直接由相应的X(k)计算即可。

5结论
由于数字信号处理器（DSPs）特殊的硬件结构和编程环境，能高速、实时地实现FFT。因此利用FFT来实现傅里叶算法，既减少了计算量，又使这种算法更加适合于DSPs的处理，从而在保证不降低精度的条件下，提高了处理的准确性和实时性，同时也大大方便了软件编程。


参考文献


［1］杨奇逊(YANGQixun).微机继电保护基础（BasisofMicrocomputerRelayProtection）［J］.华北电力学院(JournalofNorthChinaElectricPowerCollege),1988.
［2］邱关源(QIUGuanyuan).电路（第三版）(Circuit,ThirdEdition)［M］.北京：高等教育出版社(Beijing:HigherEducationPress),1989.
［3］胡广书(HUGuangshu).数字信号处理——理论、算法与实现(DigitalSignalProcessing——Theory,AlgorithmandImplemention)［M］.北京：清华大学出版社(Beijing:TsinghuaUniversityPress),1997.
［4］程佩清(CHENGPeiqing).数字信号处理教程（第二版）(DigitalSignalProcessingTutorial,SecondEdition)［M］.北京：清华大学出版社（Beijing:TsinghuaUniversityPress）,2001.

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