水电之家讯：二阶电路 用二阶微分方程描述的电路，二阶电路一般含有两个储能元件。
图示电路中，时开关接通。求 RLC串联电路的零输入响应。

列后KVL方程

将元件方程

代入得描述的二阶常系数线性齐次微分方程

两个初始条件

的二阶常系数线性齐次微分方程定解

由于电路为零输入响应，因此的强制分量（特解）为零，即

下面求齐次微分方程通解
特征方程及特征根为

；

令代入上式，得到两个特征根

，

上式表明，特征根、决定于电路参数(R、L、C)。而电路参数可任意取值，所以、可为相异实根、二重根或共轭复根。相应的，方程通解将具有不同的函数形式。

1.，即电路参数满足

此时、为两个相异负实根(设R、L、C均为正值)。方程通解为

其中A1和A2须通过初始条件确定

解得


，

将A1、A2代入得响应



根据电容、电感的元件方程，考虑到可得


由于电路中无独立电源，所以响应、、均为零输入响应，因而只含自由分量。
时RLC串联电路零输入响应波形如下——过阻尼过程

2.，即电路参数满足

此时、为一对共轭复数，它们分别写成

；

式中，

方程通解为

其中A和须由初始条件确定：

解得

代入得响应

根据元件方程，得









下图画出了时RLC串联电路零输入响应、i及的波形图——欠阻尼过程


3.，即电路参数满足

此时和为两个相等负实根，即特征方程存在二重根

方程通解为

其中A1、A2须由初始条件确定：

解得

代入通解得

以及


由于属于临界状态。此时电阻R称为临界电阻。临界情形仍是非振荡情形。
例1.图(a)所示电路，设。求的单位阶跃特性。




解：设A。列写关于的微分方程。根据KCL，得

(1)

根据KVL，得

(2)

将式(2)对时间求导，再将式(1)代入求导后的方程，得

(3)

代入已知数

(4)

由零状态电路得初始条件：

(5)

下面求满足方程(4)和初始值(5)的解答。
图 (a)所示电路在作用下存在稳态解。的稳态分量为。为求自由分量须写出方程(4)的特征方程并求出特征根

(6)

为一对共轭复根，故自由分量形式为

(7)

与相加便是方程(4)的通解

(8)

由初始条件式(5)确定B和：

解得

(9)

将、代入式(８)得到满足方程(4)及初始值(5)的解，即响应

A (10)

因为电路为零状态，时,可以用单位阶跃函数表示时的情况。这样的统一表达式是

A(11)

上述是在单位阶跃电流源作用下产生的响应，故的单位阶跃特性的变化规律与相同，但无量纲。即

(12)

的波形如图 (b)所示。

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